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• “络合物组成和稳定常数的测定”是大学化学广泛开设的教学实验，其原理是用分光光度法测定三价铁与有机配体试钛灵(邻苯二酚-3, 5-二磺酸钠)形成配合物的吸光度，确定所形成配合物的配位数和稳定常数^[1]。实验设计如下，在保持[L]+[Fe³⁺]不变的条件下，配制一系列不同[L]/[Fe³⁺]组成的溶液，测定某一波长下溶液的吸光度并绘制曲线，曲线极大值所对应的溶液组成即为配位数n=[L]/[Fe³⁺]。改变溶液浓度绘制两条曲线，进而计算络合物稳定常数。作为教学实验，其设计的前提应该是铁离子与配体以一定的配位数结合，即形成单一的络合物。但是，在教学过程中我们发现学生测出的配位数多在1~2之间，而非在某一整数附近分布。为了排除系统误差，我们利用吸收光谱仪对系列样品溶液做全谱测量。结果显示，随着三价铁离子比例增大，溶液的吸收峰逐渐红移(图 1)。吸收峰的位移说明体系中物质组成及其浓度的改变。已知三价铁和配体在这一波长范围均无特征吸收，光谱的红移只能归因于配合物组成的变化，由此推断配位数不唯一。

  图 1

  

  图 1.  三价铁离子与有试钛灵形成配合物的吸收光谱

  [L]+[Fe³⁺]=0.5mmol/L，保持不变

  Figure 1.  UV-Vis absorption spectra of complex from Iron(Ⅲ) and Tiron in buffer (pH=4.6)

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  文献报道，三价铁与试钛灵形成的配合物的配位数可能是1、2和3^{[2, 3]}，与溶液的pH相关。pH=2时，以单配位为主，吸收峰位于660nm附近；pH=4.5时，以双配位为主，吸收峰在560nm附近；pH=8时，以三配位为主，吸收峰在480nm。实验中缓冲液pH为4.6，体系中以双配位为主，但无法避免其他产物的存在，尤其是在铁离子浓度改变的情况下。本文基于光谱数据，通过矩阵分解的数学分析方法，重现混合体系中各配位形式的特征光谱和它们的化学组成。

  1.   实验部分

  1.1   试剂与仪器

  十水合硫酸铁铵(纯度99%)和试钛灵购于Acros公司；冰醋酸和醋酸铵购于北京国药集团化学试剂有限公司，分析纯；超纯水(millipore，18MΩ)。

  德国耶拿SPECORD 200 UV-Vis吸收光谱仪，美国梅特勒S210 pH计。

  1.2   实验过程

  于1L水中加入100g乙酸铵和100mL乙酸，用pH计调节pH=4.6制得乙酸铵缓冲液；分别配制5mmol/L试钛灵和5mmol/L硫酸铁铵的水溶液各100mL。于100mL容量瓶中按表 1配制系列待测溶液，加蒸馏水定容、摇均。用吸收光谱仪对溶液依次进行光谱测量，波长范围400~900 nm，比色皿光程1cm。

  表 1

  

  表 1  溶液配制所需体积

  Table 1.  Solution volumes needed for the samples preparation

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  x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
  硫酸铁铵/mL	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  试钛灵/mL	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
  缓冲液/mL	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25
  x=[Fe3+]/([Fe3+]+[L])

  2.   结果与讨论

  关于配位数的计算，教科书中通过测量x=[Fe³⁺]/([Fe³⁺]+[L])=0.5溶液的吸收光谱，确定其最大吸收所对应的波长λ_max，然后测量所有溶液在λ_max处的吸光度值A，绘制A与x的曲线。从图 1可见，溶液并非单一成份，每种成份有各自的特征吸收光谱，浓度随着原料配比的改变而不断变化。实验测得的吸光度其实是各组分的总合。每个组分的特征光谱不同，在某一波长处的贡献也不同，因此有理由认为选择不同的λ_max获得的配位数也不同。我们分别选取500、550、600和650nm四处吸光度值绘制A-x曲线(图 2)，图中四条曲线峰值所对应的x分别是3.3、3.5、3.7和4.0，表明波长的选择确实影响配位数的确定，溶液的真实组成值得研究。

  图 2

  

  图 2.  系列溶液中不同波长处吸光度值随[Fe³⁺]/([Fe³⁺]+[L])的变化趋势

  Figure 2.  Variation of the absorbance at 500nm, 550nm, 600nm and 650nm with x=[Fe³⁺]/([Fe³⁺]+[L])

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  在混合体系中，如果体系中包含的组分数一定，如组分一，组分二，......。那么图 1的任一条光谱曲线可以用式(1)表示：

  $A_x^\lambda = l(\varepsilon _1^\lambda c_1^x + \varepsilon _2^\lambda c_2^x + \ldots )$

  (1)

  式中l是光程，ε是组分摩尔消光系数，c是组分浓度。由此可见，图 1的光谱数据对应一组二维矩阵，纵向为波长λ，横向为x。针对这种二维光谱数据，奇异值分解法(SVD)可以有效地提取其中的特征向量(即组分的特征光谱)和强度分布^{[4, 5]}。

  SVD二维矩阵分解的原理如下：

  ${A_{n \times m}} = {U_{n \times k}}{S_{k \times k}}V_{m \times k}^T$

  (2)

  其中，U和V分别为n×k和m×k维的正交矩阵，上标T表示矩阵的转置；S_k×k是一个对角矩阵，其对角元素为非负值，称为奇异值，从左上角向右下角依次减小，指示相应的特征向量在体系中的贡献。这里U可看作组分的特征向量，V是强度分布，k为关注的特征向量数。矩阵分解后维数明显降低，SVD也是图像压缩的有效手段^[6]。但在实际应用中，SVD给出的特征向量只有代数本质，往往难以与实际物理量相联系^[7]，比如U和V中出现负值时与无法与上述吸收光谱进行比对。Lee等^[8]开发了非负矩阵分解法(NMF)，它使分解后的所有分量均为非负值，并且同时实现矩阵维数约减。NMF的表达式如下：

  ${A_{n \times m}} = {H_{n \times k}}{W_{k \times m}}$

  (3)

  式中，H和W可简单理解为前k个组分的特征光谱和强度分布。这里H和W中的元素值均为正值，具备一定的物理意义。因此，NMF已逐渐成为信号处理^[9]、生物医学工程^[10]、语音识别^[11]、计算机视觉和图像工程^[12]等研究领域中最受欢迎的多维数据处理工具之一。

  图 3是我们对图 1所示光谱数据的NMF分析结果，列出前4个组分的特征光谱和它们在系列样品中的强度分布。从图中可见，第4组分的光谱和分布均为零，可以认为矩阵只有3个特征向量，即光谱数据源于3种物质的吸光度。图中第1、2组分均有一个明显的吸收带，分别位于567和661 nm处，对比图 1中的峰位置，可推断是三价铁与配体形成的双配位和单配位化合物。它们对应的分布曲线进一步证明这一观点，组分1的最大布居出现在[Fe³⁺]/([Fe³⁺]+[L])=0.3附近，对应n=[L]/[Fe³⁺]≈2；组分2的最大布居出现在[Fe³⁺]/([Fe³⁺]+[L])=0.5附近，对应n≈1；组分3仅在短波区有弱吸收，且随着[Fe³⁺]上升贡献增加，可归因为溶液中三价铁离子的吸收。为验证NMF分析的有效性，将其结果数据逆向运算。图 4是我们将图 3的光谱与分布相乘生成的系列光谱，几乎重复了图 1的光谱，证明NMF分析是可信的。

  图 3

  

  图 3.  对光谱数据做NMF处理的结果：左侧从上到下分别为前四种主要组分的光谱图，右侧为它们的分布曲线

  Figure 3.  NMF analysis on the series of spectra. Left panel) the characteristic spectra of the first four species; Right panel) population of the species as function of [Fe³⁺]/([Fe³⁺]+[L])

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  图 4

  

  图 4.  基于NMF结果逆向运算生成的系列光谱

  Figure 4.  Spectra from a reverse operation of the NMF result as shown in Fig. 3

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  FeL₂最大吸收位于567nm附近，FeL则位于661nm附近，这与文献报道一致^{[2, 3]}。沈雪松等^[13]在研究Fe³⁺与试钛灵的动力学时发现，只有当[H⁺] ≥ 0.15mol/L，且铁离子远远过量时才能看到一配位配合物的形成。因此，我们可以断定在pH=4.6的乙酸铵缓冲液中，三价铁与钛铁试剂会同时形成双配位(FeL₂)和单配位(FeL)。

  对比二者的分布曲线(图 3)，在[Fe³⁺]/ ([Fe³⁺]+[L]) < 0.4时，FeL₂为主要成份；随着铁离子浓度增加，FeL逐渐增多。图 2中，依据短波长数据获得的配位数大于长波长的，可以理解为FeL₂和FeL光谱位置的差别。从图 3中可见，虽然FeL₂与FeL的峰位置不同，但它们的谱形相似：蓝边快速升起，红边缓慢下降。因此，在500~550nm这一区域光谱信号主要由FeL₂贡献，但在长波方向FeL₂平缓下降的光谱与FeL的吸收带重叠。这就导致图 2中500和550nm处的曲线容易给出配位数n≈2的结果，而在650nm处只能得出n≈1.5而不是1。实验中如果以x=0.5的峰值波长λ_max=610nm，以此绘制A-x曲线，往往会得到1 < n < 2的结果。这是因为体系中确实包含单、双两种配合物，而非实验误差。然而，现有的教材并没有对此给出说明，学生会认为体系只有一种配位形式，并对实验结果加以分析讨论。有的实验设计中用磺基水杨酸代替试钛灵，两种配合物结构相近，同样要调控pH，是否也有配位数不单一的情况，我们会进一步加以研究。就试钛灵与三价铁而言，我们建议条件允许的实验室进行试样全谱测量，将体系的真实组成展示给学生，然后选取500nm处吸光度数据练习配位数和稳定常数的计算。

  3.   结论

  总之，我们通过光谱测量发现，在pH 4.6的乙酸铵缓冲液中三价铁离子与试钛灵会形成不止一种配合物，NMF分析显示其中包含单配位和双配位两种形式。将一种混合体系设计为教学实验，并要求学生给出一定的配合数，显然有悖于实际情况。基于本研究结果对原实验的操作流程和数据处理给出修改建议。

• 1. [1]

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  图 1  三价铁离子与有试钛灵形成配合物的吸收光谱

  Figure 1  UV-Vis absorption spectra of complex from Iron(Ⅲ) and Tiron in buffer (pH=4.6)

  [L]+[Fe³⁺]=0.5mmol/L，保持不变

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  图 2  系列溶液中不同波长处吸光度值随[Fe³⁺]/([Fe³⁺]+[L])的变化趋势

  Figure 2  Variation of the absorbance at 500nm, 550nm, 600nm and 650nm with x=[Fe³⁺]/([Fe³⁺]+[L])

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  图 3  对光谱数据做NMF处理的结果：左侧从上到下分别为前四种主要组分的光谱图，右侧为它们的分布曲线

  Figure 3  NMF analysis on the series of spectra. Left panel) the characteristic spectra of the first four species; Right panel) population of the species as function of [Fe³⁺]/([Fe³⁺]+[L])

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  图 4  基于NMF结果逆向运算生成的系列光谱

  Figure 4  Spectra from a reverse operation of the NMF result as shown in Fig. 3

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  表 1  溶液配制所需体积

  Table 1.  Solution volumes needed for the samples preparation

  x	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
  硫酸铁铵/mL	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  试钛灵/mL	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
  缓冲液/mL	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25	25
  x=[Fe3+]/([Fe3+]+[L])

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